CAMPEONES ! CHAMPIONS ! binomial distribution / distribucion normal

El 28 de Diciembre (Dia de los inocentes) , en Cataluña se publicaron  los resultados de las votaciones de la CUP, este es  un partido politico, que reunió a 3030 votantes, los cuales despues de emitir sus votos y contarlos se encontró que 1515 votaron a favor y 1515 en contra !!.

El tema politico no  me va interesar para este analisis, sino mas bien los resultados.

Cada uno de los votantes, podia escoger entre decir SI o NO a apoyar a un candidato, imaginemos que los votantes votaron sin pensar (como creo que realmente lo hicieron) es decir escogieron aleatoriamente el SI o el NO.

Visto asi, desde el punto de vista estadistico, las probabilidades escoger SI o NO son p=0,5 (50%).

La pregunta es ¿cual es la probabilidad que acaben empatados?, si ven en mi blog anterior utilizariamos la formula:

este calculo no puede hacerse utilizando las formulas habituales, dado que 3030 ! sencillamente asfixia el procesador del ordenador que utilizamos, para lo cual utilizamos una aproximacion segunn la curva de distribucion normal, lo que nos da : p=0,014493 (Hemos utilizado el calculador que nos da la pagina de stattrek

¿Que quiere decir esto ? que  habia un 0,00014493% de posibilidades de obtener este resultado. 

En otras palabras, este resultado va contra todos los pronosticos, pero lo cierto es que no es una inocentada del 28 de Diciembre, sino que ha ocurrido en una de las regiones mas avanzadas de España. En otras palabras PATETICO !, por eso creo que los de la CUP deberian ser declarados unos autenticos campeones, podrian comprar la loteria del niño y ganarse el gordo.

Normal distribution (Distribucion normal)

Intentare utilizar un problema de probabilidades como  metafora para tratar de llegar a la leyes de la distribucion normal.
El problema surgio en  mi practica clinica como cardiologo. Cada mañana nuestro grupo tiene que visitar en nuestro hospital tanto las unidades de intensivos pediatricos  y neonatales. Supongamos que escojamos una de ellas y asumamos que hay 20 camas o lechos con 20 pacientes. la pregunta hipotetica es :

¿Que pensariamos  si al entrar a la unidad, encontramos que de  los 20 niños, todos son del mismo sexo, es decir todos varones o todos mujeres?

Exceptuando la posibilidad de que se haya discriminado a uno de los sexos por alguna razon, intentaremos dar una explicacion a este fenomeno.

Para hacer mas facil el problema, consideremos que los niños estan un solo dia en la UCI, y decimos:

¿cual es la probabibildad de encontrar niños del mismo sexo si la unidad tiene 1, 2, 3,....ó 20 camas?

Veamos la tabla siguiente:

En esta tabla observamos que si hubiese una sola cama, la probabilidad  de observar un niño de un sexo determinado es 0,5 o sea 50%, si la unidad tiene 2 camas la probabilidad es del 25 %, en otras palabras tendriamos que esperar 4 dias para observar el fenomeno..
Pero si entramos y observamos que todos los niños son del mismo sexo en las 20 camas la probabilidad esta dada por: 

                             (1/2)²⁰ = 0.00000095367431640625

Es decir que tendriamos que esperar 2878 años !!! para observar el fenomeno de ver que todas las 20 camas de la unidad esten ocupadas por niños del mismo sexo. 

¿Hacia donde vamos?

Vamos a que si tenemos la suerte o desgracia de vivir para trabajar los 2878 años, visitando cada dia la unidad de intensivos con nuestro pesado equipo de Ecocardiografia (como en el mito de Sisifo) y anotamos los datos del sexo de los niños y los ordenamos obtendriamos una tabla como la siguiente :

En esta tabla, la probabilidad de encontrar 0 (ninguna) mujer (o lo que es lo mismo que los 20 niños sean varones) es 0,00000095367431640625, vemos tambien en esta tabla que la posibilidad de encontrar 10 niños y 10 niñas es de 17,6%. Como les dije esta tabla podemos construirla anotando nuestras observaciones diarias por lo menos durante 2878 años, pero como no vamos a vivir tantos años pedimos ayuda al amigo de la manzana (no Steve  Jobs sino a Isaac Newton) con su conocido binomio

  

(½ + ½)²⁰  = C²⁰₀ ( ½ )²⁰ ( ½ )⁰ +C²⁰₁ ( ½ )¹⁹ ( ½ )¹ +C²⁰₂ ( ½ )¹⁸ ( ½ )² +............

y donde C²⁰_n = 20 ! / (20-n)! (n!)

Pues utilizando el excel, el binomio del amigo Newton y unos minutos nos ahorramos los 2878 años y obtenemos la tabla descrita. 

Pero lo interesante sucede si convertimos esta tabla en grafico :

Aqui vemos lo mismo, pero en la forma de la Curva de distribucion normal. ¿que nos dice? entre otras que casi el 18% de los dias que visitemos la Unidad y ademas de ver a los amigos Cambra o Moreno encontraremos que hay 10 niños y 10 niñas.  Que en un 32 % de las veces veremos o 9 niños y 11 niñas o viceversa.

Si recordamos que alrededor de 10 con 2 desviaciones estandar para la izquierda o derecha, tenemos el 95% de observaciones y eso significa ver como minimo 6 niños de un mismo sexo. Dicho en otras palabras, si las 20 camas estan ocupadas y hay 5 niños de un sexo y 15 del otro, esa es una situacion ANORMAL, porque definimos arbitrariamente en medicina que lo anormal es lo que cae en el 5% de las observaciones ( p <  0,05) 

PERO TODO ESTO, ha sido nada mas que una metafora, para intentar convencerlos que existen leyes universales, al parecer muy pocas las que realmente gobiernan los procesos, fisicos, quimicos, biologicos, sociales !!!!!!!!!!!!!

el aleph , Borges, internet y Smartphones

Los smartphones o telefonos inteligentes nos han cambiado la vida de tal modo que apenas lo percibimos. Hace  unos dias cuando ibamos a empezar una reunion de trabajo, la mayoria de los asistentes estaban concentrados tratando de visualizar informacion en sus respectivos telefonos moviles.

Comente con ellos si habian leido el Aleph, de Jorge Luis Borges.

Pues, el Aleph publicado en 1949, trata de la obsesion de un hombre en el sotano de su casa al descubrir una pequeña ventana desde donde puede ver el mundo, "multum in parvo" o mucho en tan poco como lo expresa Borges. Transcribo un fragmento del cuento :

"El diámetro del Aleph sería de dos o tres centímetros, pero el espacio cósmico estaba ahí, sin disminución de tamaño. Cada cosa (la luna del espejo, digamos) era infinitas cosas, porque yo claramente la veía desde todos los puntos del universo. Vi el populoso mar, vi el alba y la tarde, vi las muchedumbres de América, vi una plateada telaraña en el centro de una negra pirámide, vi un laberinto roto (era Londres), vi interminables ojos inmediatos escrutándose en mí como en un espejo, vi todos los espejos del planeta y ninguno me reflejó, vi en un traspatio de la calle Soler las mismas baldosas que hace treinta años vi en el zaguán de una casa en Fray Bentos, vi racimos, nieve, tabaco, vetas de metal, vapor de agua, vi convexos desiertos ecuatoriales y cada uno de sus granos de arena, vi en Inverness a una mujer que no olvidaré, vi la violenta cabellera, el altivo cuerpo, vi un cáncer en el pecho, vi un círculo de tierra seca en una vereda, donde antes hubo un árbol, vi una quinta de Adrogué, un ejemplar de la primera versión inglesa de Plinio, la de Philemon Holland, vi a un tiempo cada letra de cada página (de chico, yo solía maravillarme de que las letras de un volumen cerrado no se mezclaran y perdieran en el decurso de la noche), vi la noche y el día contemporáneo, vi un poniente en Querétaro que parecía reflejar el color de una rosa en Bengala, vi mi dormitorio sin nadie, vi en un gabinete de Alkmaar un globo terráqueo entre dos espejos que lo multiplican sin fin, vi caballos de crin arremolinada, en una playa del Mar Caspio en el alba, vi la delicada osatura de una mano, vi a los sobrevivientes de una batalla, enviando tarjetas postales, vi en un escaparate de Mirzapur una baraja española, vi las sombras oblicuas de unos helechos en el suelo de un invernáculo, vi tigres, émbolos, bisontes, marejadas y ejércitos, vi todas las hormigas que hay en la tierra, vi un astrolabio persa, vi en un cajón del escritorio (y la letra me hizo temblar) cartas obscenas, increíbles, precisas, que Beatriz había dirigido a Carlos Argentino, vi un adorado monumento en la Chacarita, vi la reliquia atroz de lo que deliciosamente había sido Beatriz Viterbo, vi la circulación de mi oscura sangre, vi el engranaje del amor y la modificación de la muerte, vi el Aleph, desde todos los puntos, vi en el Aleph la tierra, y en la tierra otra vez el Aleph y en el Aleph la tierra, vi mi cara y mis vísceras, vi tu cara, y sentí vértigo y lloré, porque mis ojos habían visto ese objeto secreto y conjetural, cuyo nombre usurpan los hombres, pero que ningún hombre ha mirado: el inconcebible universo"

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Emporio celestial de conocimientos benévolos

El idioma analítico de John Wilkins

Jorge Luis Borges

He comprobado que la decimocuarta edición de la Encyclopaedia Britannica suprime el artículo sobre John Wilkins. Esa omisión es justa, si recordamos la trivialidad del artículo (veinte renglones de meras circunstancias biográficas: Wilkins nació en 1614, Wilkins murió en 1672, Wilkins fue capellán de Carlos Luis, príncipe italiano; Wilkins fue nombrado rector de uno de los colegios Oxford, Wilkins fue el primer secretario de la Real Sociedad de Londres, etc.); es culpable, si consideramos la obra especulativa de Wilkins. Éste abundó en felices curiosidades: le interesaron la teología, la criptografía, la música, la fabricación de colmenas transparentes, el curso de un planeta invisible, la posibilidad de un viaje a la luna, la posibilidad y los principios de un lenguaje mundial. A este último problema dedicó el libro An Essay Towards a Real Character and a Philosophical Language (600 páginas en cuarto mayor, 1668). No hay ejemplares de ese libro en nuestra Biblioteca Nacional; he interrogado, para redactar esta nota, The life and Times of John Wilkins (1910), de P. A. Wrigh Henderson; el Woertebuch der Philosophie (1924), de Fritz Mathner; Delphos (1935), de E. Sylvia Pankhurst; Dangerous Thoughts (1939), de Lancelot Hogben.

Todos, alguna vez, hemos padecido esos debates inapelables que una dama, con acopio de interjecciones y de anacolutos jura que la palabra luna es más (o menos) expresiva que la palabra moon. Fuera de la evidente observación de que el monosílabo moon es tal vez más apto para representar un objeto muy simple que la palabra bisilábica luna, nada es posible contribuir a tales debates; descontadas las palabras descompuestas y las derivaciones, todos los idiomas del mundo (sin excluir el volapük Johann Martin Schleyer y la romántica interlingua de Peano) son igualmente inexpresivos. No hay edición de la Gramática de la Real Academia que no pondere "el envidiado tesoro de voces pintorescas, felices y expresivas de la riquísima lengua española", pero se trata de una mera jactancia, sin corroboración. Por lo pronto, esa misma Real Academia elabora cada tantos años un diccionario, que define las voces del español... En el idioma universal que ideó Wilkins al promediar el siglo XVII, cada palabra se define a sí misma. Descartes, en una epístola fechada en noviembre de 1629, ya había anotado que mediante el sistema decimal de numeración, podemos aprender en un solo día a nombrar todas las cantidades hasta el infinito y a escribirlas en un idioma nuevo que es el de los guarismos; también había propuesto la formación de un idioma análogo, general, que organizara y abarcara todos los pensamientos humanos. John Wilkins, hacia 1664, acometió esa empresa.

Dividió el universo en cuarenta categorías o géneros, subdivisibles luego en diferencias, subdivisibles a su vez en especies. Asignó a cada género sin monosílabo de dos letras; a cada diferencia, una consonante; a cada especie, una vocal. Por ejemplo: de, quiere decir elemento; deb, el primero de los elementos, el fuego; deba, una porción del elemento del fuego, una llama. En el idioma análogo de Letellier (1850) a, quiere decir animal; ab, mamífero; abo, carnívoro; aboj, felino; aboje, gato; abi, herbívoro; abiv, equino; etc. En el Bonifacio Sotos Ochando (1854), imaba, quiere decir edificio; imaca, serrallo; image, hospital; imafo, lazareto; imarri, casa; imaru, quinta; imedo, poste; imede, pilar; imego, suelo; imela, techo; imogo, ventana; bire, encuadernador; birer, encuadernar. (Debo este último censo a un libro impreso en Buenos Aires en 1886: el Curso de lengua universal, del doctor Pedro Mata).

Las palabras del idioma analítico de John Wilkins no son torpes símbolos arbitrarios; cada una de las letras que las integran es significativa, como lo fueron las de la Sagrada Escritura para los cabalistas. Mauthner observa que los niños podrían aprender ese idioma sin saber que es artificioso; después en el colegio, descubrirán que es también una clave universal y una enciclopedia secreta.

Ya definido el procedimiento de Wilkins, falta examinar un problema de imposible o difícil postergación: el valor de la tabla cuadragesimal que es base del idioma. Consideremos la octava categoría, la de las piedras. Wilkins las divide en comunes (pedernal, cascajo, pizarra), módicas (mármol, ámbar, coral), preciosas (perla, ópalo), transparente (amatista, zafiro) e insolubles (hulla, greda y arsénico). Casi tan alarmante como la octava, es la novena categoría. Esta nos revela que los metales pueden ser imperfectos (bermellón, azogue), artificiales (bronce, latón), recrementicios (limaduras, herrumbre) y naturales (oro, estaño, cobre). La belleza figura en la categoría decimosexta; es un pez vivíparo, oblongo. Esas ambigüedades, redundancias y deficiencias recuerdan las que el doctor Franz Kuhn atribuye a cierta enciclopedia china que se titula Emporio celestial de conocimientos benévolos. En sus remotas páginas está escrito que los animales se dividen en (a) pertenecientes al Emperador, (b) embalsamados, (c) amaestrados, (d) lechones, (e) sirenas, (f) fabulosos, (g) perros sueltos, (h) incluidos en esta clasificación, (i) que se agitan como locos, (j) innumerables, (k) dibujados con un pincel finísimo de pelo de camello, (1) etcétera, (m) que acaban de romper el jarrón, (n) que de lejos parecen moscas. El Instituto Bibliográfico de Bruselas también ejerce el caos: ha parcelado el universo en 1000 subdivisiones, de las cuales la 262 corresponde al Papa; la 282, a la Iglesia Católica Romana; la 263, al Día del Señor; la 268, a las escuelas dominicales; la 298, al mormonismo, y la 294, al brahmanismo, budismo, shintoísmo y taoísmo. No rehúsa las subdivisiones heterogéneas, verbigracia, la 179: "Crueldad con los animales. Protección de los animales. El duelo y el suicidio desde el punto de vista de la moral. Vicios y defectos varios. Virtudes y cualidades varias."

He registrado las arbitrariedades de Wilkins, del desconocido (o apócrifo) enciclopedista chino y del Instituto Bibliográfico de Bruselas; notoriamente no hay clasificación del universo que no sea arbitraria y conjetural. La razón es muy simple: no sabemos qué cosa es el universo. "El mundo -escribe David Hume- es tal vez el bosquejo rudimentario de algún dios infantil, que lo abandonó a medio hacer, avergonzado de su ejecución deficiente; es obra de un dios subalterno, de quien los dioses superiores se burlan; es la confusa producción de una divinidad decrépita y jubilada, que ya se ha muerto" (Dialogues Concerning Natural Religion, V. 1779). Cabe ir más lejos; cabe sospechar que no hay universo en el sentido orgánico, unificador, que tiene esa ambiciosa palabra. Si lo hay, falta conjeturar su propósito; falta conjeturar las palabras, las definiciones, las etimologías, las sinonimias, del secreto diccionario de Dios.

La imposibilidad de penetrar el esquema divino del universo, no puede, sin embargo, disuadirnos de planear esquemas humanos, aunque nos conste que estos son provisorios. El idioma analítico de Wilkins no es el menos admirable de ésos esquemas. Los géneros y especies que lo componen son contradictorios y vagos; el artificio de que las letras de las palabras indiquen subdivisiones y divisiones es, sin duda, ingenioso. La palabra salmón no nos dice nada; Zana, la voz correspondiente; delfine (para el hombre versado en las cuarenta categorías y en los géneros de esas categorías) un pez escamoso, fluvial, de carne rojiza. Teóricamente, no es inconcebible un idioma donde el hombre de cada ser indicara todos los pormenores de su destino, pasado y venidero.)

Esperanzas y utopías aparte, acaso lo más lúcido que sobre el lenguaje se ha escrito son estas palabras de Chesterton: "El hombre sabe que hay en el alma tintes más desconcertantes, más innumerables y más anónimos que los colores de una selva otoñal... cree, sin embargo, que esos tintes, en todas sus fusiones y conversiones, son representables con precisión por un mecanismo arbitrario de gruñidos y de chillidos. Cree que del interior de un bolsista salen realmente ruidos que significan todos los misterios de la memoria y todas las agonías del anhelo" (G.F.Watts, pág.88, 1904).

FIN

numeros triangulares; triangular numbers

   ¿cual es el siguiente numero ?   1, 3, 6, 10, 15, 21,.....

Estaba hablando con un amigo (IM), cuando señalaba una  pizarra magnetica y los imanes que sujetan los papeles.
El penso que con aquellos se podria formar la secuencia de Fibonacci. Le conteste que tal vez  si , pero seria mejor  la secuencia de los numeros triangulares.

Un numero triangular (NT) es el numero total de elementos apilados, en orden creciente. Por ejemplo el NT(4)  es igual a 10, veamos la figura : 
en el triangulo hay 4 filas, la suma de todos los elementos da 10. NT(4)=10. El NT mas simple seria NT(1)=1 o tambien NT(0)=0

Imaginemos que hacemos un supertriangulo con muchos elementos, y este llega a tener "n" filas, la pregunta es ¿cuantos elementos tendria?

                 NT(n) = n(n+1)/2

Para obtener la solucion hay que  sumar 1+2+3+4+5+......+n.

La demostracion es facil, y se puede demostrar graficamente :

Imaginen mover el cuadradito del vertice al extremo derecho de la ultima fila, ahora habrian n+1 cuadraditos, si hacemos lo mismo con los cuadraditos de la segunda linea y los alineamos en la penultima obtenemos otra vez n+1 cuadraditos; si repetimos la operacion, tendremos n/2 lineas (la mitad, porque las superiores han desaparecido !!) y cada una de ellas tiene n+1 cuadraditos, por lo que el numero total sera :  n(n+1)/2.

esta es la formula de la suma de los primeros numeros naturales.

Otra manera de demostrar, es la siguiente : Dibujemos un rectangulo de n(n+1) lados como el que vemos: 

El rectangulo de 7x8 esta formado por 2 numeros triangulares iguales NT(7), el area del rectangulo es 7x8=56 y el area de cada uno de los numeros triangulares sera 7x8/2.

En otras palabras          2xNT(n)=n(n+1)   >>>>>    NT(n) = n(n+1)/2.

Otra propiedad interesante de estos numeros puede obtenerse graficamente : tenemos un cuadrado (n)x(n) = n2   (n al cuadrado) y como se ve este es 8x8 = 64, que es en realidad la suma de 2 numeros triangulares NT(7) =28  y NT(8) = 36; como se ve en la figura :

NT(7) + NT(8)= 64;  podriamos generalizar y obtener ; NT(n)+NT(n+1)=(n+1)(n+1)

una ultima propiedad: Imaginemos que el cuadrado de arriba en realidad son 64 cubitos, que pasaria si construimos una torre con 49 cubitos encima, y luego 36 y asi sucesivamente hasta 1 cubito. Pregunta ¿cuantos cubitos hay? , la respuesta es que hay 1x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 + 6x6 + 7x7 +8x8. La pregunta mas general es como podemos calcular :

utilizando los numeros triangulares?.

La naturaleza sabe contar, numeros de Fibonacci , Fibonacci numbers

¿Cuales son los numeros siguientes en esta serie?

1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , . . . . . . .

La solucion es facil, el numero siguiente se obtiene sumando los dos previos

1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 5+8  
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13, 13+8   
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13, 21 , 21+13
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13, 21 , 34 ,.....

En el siglo XIII, Leonardo Pisano, conocido como Fibonacci  planteo este problema de la forma siguiente :

¿Los conejos tienen 2 crias cada mes a partir del segundo mes de vida, si asumimos que de las dos crias una es macho y la otra hembra, Cuantas parejas de conejos tendre al cabo de 1 año?

La solucion es facil, imaginen en el grafico siguiente que los discos rojos son la parejas que  tienen un mes de vida y No pueden reproducirse, cuando maduran (discos azules) pueden reproducirse. Los numeros indican el numero de parejas. Las columnas oscuras son meses impares y las claras los meses pares, por ejemplo el sexto mes hay 8 parejas. Si continuaramos hasta el año, tendriamos 144 conejos.

Pero sabemos que el problema de Fibonacci, es una situacion ideal, los conejos no se embarazan con precision matematica, el numero de crias no necesariamente es 2 y la proporcion de hembras y machos no es exactamente el 50%. Pero el problema no deja de ser una abstraccion de un fenomeno real.

Pues veamos ahora casos reales y vayamos a abstraernos:

Empezamos con que tenemos 5 dedos (numero de fibonacci) en cada extremidad, viendo bien con 4 dedos podriamos hacer casi lo mismo, pero 5 es un numero constante en la mayoria de los animales. Los osos panda tienen 6 pero uno no es un digito real. En los pajaros existen 4 dedos en las patas (el faltante es microscopico!!!)

En la cocina de mi casa, cuando preparaba las ensaladas, los pimientos me daban un patron, ¿que observamos ?

Que la seccion transversal tiene 5 lobulos en uno y en otro pimiento 3 lobulos. este patron he de decir es repetitivo o sea que no he visto un pimiento con 4 o 6 lobulos, lo interesante es que 3 y 5 son numeros de la secuencia de fibonacci !!.

Lo siguiente ocurrio en mis paseos por las calles de mi barrio, Esplugues de llobregat, empece a observar flores, en este caso los sepalos (lilas, normalmente son verdes) estan en numero de 3 y los petalos estan fusionados y tienen una forma pentagonal (5)

En lss siguientes fotos, la naturaleza sigue echando mano al numero 5

Pero a veces la naturaleza es mas atrevida y quiere contar con numeros mas grandes y vean :

Cuantos petalos tiene esta flor ?  21 !! otro numero de Fibonacci.

Finalmente la ultima foto, una foto de treboles, confirma que cuando la naturalez cuenta utiliza la serie de Fibonacci, es este caso de 3 en 3. Si encuentran un trebol de 4 hojas, como es de esperar sera un acontecimiento bastante raro, dado que la naturaleza no utiliza el numero 4 para contar, pero a veces se equivoca y la gente dice que ese dia tendremos suerte.

Borges el memorioso funes / sinestesia / savants

El año 1942, Jorge Luis Borges escribio un pequeño cuento “el memorioso Funes”

En el cuento, Borges relata su encuentro con Irineo Funes, un paralitico joven que tenia una memoria extraordinaria.

En ese cuento, que no es muy largo, el argumento en palabras de Borges se resume en “Pensar es olvidar diferencias, es generalizar, abstraer. En el abarrotado mundo de Funes no había sino detalles, casi inmediatos”

Lo interesante es que individuos, los llamados “savants” como el que describe Borges, existen en la realidad, es el caso de Kim Peek con un IQ entre 75-83 (http://www.scientificamerican.com/article/inside-the-mind-of-a-sava-2005-12/)

V.S. Ramachandran, quien es un conocido neurocientifico de la Universidad de California en San Diego, piensa que los Savants tienen un defecto para “conceptualizar”, vean en la pagina 53 (http://www.imprint.co.uk/pdf/R_H-follow-up.pdf) , es el precio que pagan por tener una memoria extraordinaria, que a su vez casi siempre son individuos que padecen sinestesia, que es una peculiaridad en la que un sentido es interpretado como una modalidad sensorial diferente, por ejemplo pueden “oir” colores o “ver” sonidos.

En el cuento, Borges hace una detallada descripcion clinica del sindrome y se aventura con la hipotesis del fallo en la “conceptualizacion”. Lo extraordinario es que Borges no tuvo nada que ver con la medicina o la sicologia.


P.S. Dentro del cuento, Borges presta a Funes un libro en latin “historia natural” de Plinio el viejo, como se sabe es la primera enciclopedia universal donde se expresa en conocimiento e la epoca dividido en los tres reinos de la naturaleza 8animal, vegetal y mineral) , en esta obra de mas de dos mil años, se ceunta entre otras cosas la proezas nemotecnicas de la epoca, por ejemplo que Ciro (el rey Persa) conocia por nombre a sus mas de 20000 soldados.