La naturaleza sabe contar, numeros de Fibonacci , Fibonacci numbers

¿Cuales son los numeros siguientes en esta serie?

1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , . . . . . . .

La solucion es facil, el numero siguiente se obtiene sumando los dos previos

1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 5+8  
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13, 13+8   
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13, 21 , 21+13
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13, 21 , 34 ,.....

En el siglo XIII, Leonardo Pisano, conocido como Fibonacci  planteo este problema de la forma siguiente :

¿Los conejos tienen 2 crias cada mes a partir del segundo mes de vida, si asumimos que de las dos crias una es macho y la otra hembra, Cuantas parejas de conejos tendre al cabo de 1 año?

La solucion es facil, imaginen en el grafico siguiente que los discos rojos son la parejas que  tienen un mes de vida y No pueden reproducirse, cuando maduran (discos azules) pueden reproducirse. Los numeros indican el numero de parejas. Las columnas oscuras son meses impares y las claras los meses pares, por ejemplo el sexto mes hay 8 parejas. Si continuaramos hasta el año, tendriamos 144 conejos.

Pero sabemos que el problema de Fibonacci, es una situacion ideal, los conejos no se embarazan con precision matematica, el numero de crias no necesariamente es 2 y la proporcion de hembras y machos no es exactamente el 50%. Pero el problema no deja de ser una abstraccion de un fenomeno real.

Pues veamos ahora casos reales y vayamos a abstraernos:

Empezamos con que tenemos 5 dedos (numero de fibonacci) en cada extremidad, viendo bien con 4 dedos podriamos hacer casi lo mismo, pero 5 es un numero constante en la mayoria de los animales. Los osos panda tienen 6 pero uno no es un digito real. En los pajaros existen 4 dedos en las patas (el faltante es microscopico!!!)

En la cocina de mi casa, cuando preparaba las ensaladas, los pimientos me daban un patron, ¿que observamos ?

Que la seccion transversal tiene 5 lobulos en uno y en otro pimiento 3 lobulos. este patron he de decir es repetitivo o sea que no he visto un pimiento con 4 o 6 lobulos, lo interesante es que 3 y 5 son numeros de la secuencia de fibonacci !!.

Lo siguiente ocurrio en mis paseos por las calles de mi barrio, Esplugues de llobregat, empece a observar flores, en este caso los sepalos (lilas, normalmente son verdes) estan en numero de 3 y los petalos estan fusionados y tienen una forma pentagonal (5)

En lss siguientes fotos, la naturaleza sigue echando mano al numero 5

Pero a veces la naturaleza es mas atrevida y quiere contar con numeros mas grandes y vean :

Cuantos petalos tiene esta flor ?  21 !! otro numero de Fibonacci.

Finalmente la ultima foto, una foto de treboles, confirma que cuando la naturalez cuenta utiliza la serie de Fibonacci, es este caso de 3 en 3. Si encuentran un trebol de 4 hojas, como es de esperar sera un acontecimiento bastante raro, dado que la naturaleza no utiliza el numero 4 para contar, pero a veces se equivoca y la gente dice que ese dia tendremos suerte.

Borges el memorioso funes / sinestesia / savants

El año 1942, Jorge Luis Borges escribio un pequeño cuento “el memorioso Funes”

En el cuento, Borges relata su encuentro con Irineo Funes, un paralitico joven que tenia una memoria extraordinaria.

En ese cuento, que no es muy largo, el argumento en palabras de Borges se resume en “Pensar es olvidar diferencias, es generalizar, abstraer. En el abarrotado mundo de Funes no había sino detalles, casi inmediatos”

Lo interesante es que individuos, los llamados “savants” como el que describe Borges, existen en la realidad, es el caso de Kim Peek con un IQ entre 75-83 (http://www.scientificamerican.com/article/inside-the-mind-of-a-sava-2005-12/)

V.S. Ramachandran, quien es un conocido neurocientifico de la Universidad de California en San Diego, piensa que los Savants tienen un defecto para “conceptualizar”, vean en la pagina 53 (http://www.imprint.co.uk/pdf/R_H-follow-up.pdf) , es el precio que pagan por tener una memoria extraordinaria, que a su vez casi siempre son individuos que padecen sinestesia, que es una peculiaridad en la que un sentido es interpretado como una modalidad sensorial diferente, por ejemplo pueden “oir” colores o “ver” sonidos.

En el cuento, Borges hace una detallada descripcion clinica del sindrome y se aventura con la hipotesis del fallo en la “conceptualizacion”. Lo extraordinario es que Borges no tuvo nada que ver con la medicina o la sicologia.


P.S. Dentro del cuento, Borges presta a Funes un libro en latin “historia natural” de Plinio el viejo, como se sabe es la primera enciclopedia universal donde se expresa en conocimiento e la epoca dividido en los tres reinos de la naturaleza 8animal, vegetal y mineral) , en esta obra de mas de dos mil años, se ceunta entre otras cosas la proezas nemotecnicas de la epoca, por ejemplo que Ciro (el rey Persa) conocia por nombre a sus mas de 20000 soldados.

cold war - Guerra fria- Harvey Van Cliburn - Tchaikovski

La guerra fria fue un enfrentamiento global entre las dos grandes potencias de la epoca. Fue una guerra total, donde la lucha se dio en todos los frentes.

Norteamericanos y rusos pretendían ser mejores, en todos los campos, llamese deportes, cultura, ciencias, exploración espacial, etc, etc.

En el terreno cultural, los sovieticos crearon una competicion en honor a P.I. Tchaikovski, pretendian demostrar que tenian los mejores musicos y por tanto demostrar asi la superioridad cultural del regimen sovietico.

El primer concurso en el año 1958, como era de esperar acogio musicos de diferentes  paises, pero el enfrentamiento real  era entre la URSS y USA; representaba a este ultimo,  un joven norteamericano, de 23 años llamado Harvey Van Cliburn, quien interpreto el concierto para piano n 1 de Tchaikovski.

Se dice que el publico asistente, aplaudió frenéticamente, cuando Van Cliburn había acabado su interpretación. El jurado decidio consultar a Krushev, alli presente, si daba permiso para dar el premio a Cliburn.

Fue un hito historico, los rusos habian creado este concurso, con la intencion de demostrar su superioridad cultural frente al mundo capitalista.

Este video, recuerda esos momentos.

Serie Harmonica Divergente (harmonic series diverges !)

La serie de numeros en el siguiente orden :

1 , 1/2, 1/3, 1/4,.........1/n  es conocida como una Serie harmonica. Voy a demostrales que la suma de  esta serie es divergente.

Primero veamos cuando una serie es convergente

sea  S1 la suma de la siguiente serie   S1 = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +............Hasta el infinito !!!

la suma de los INFINITOS TERMINOS de esta serie, aunque parezca increible es S1 =2  (convergen en 2)

Por el contrario :

S2 = 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + .................hasta el infinito,

tiende a aumentar,  NO CONVERGE en una cifra o un limite (divergente)

Para demostrar esto, debemos escribir un programita en Octave (o mathlab o en C) para que sume los primeros "n" terminos de esta serie. (yo lo hice en Octave, es gratuito)

Con este programa, obtenemos la suma de los primeros terminos, en la tabla izquierda, algunos valores hasta cuando n=100, a primera vista parace que la suma va a converger. 

Pero cuando, obtenemos la suma de numeros mayores, en la tabladerecha, se ve que cuando sumamos los primeros cien millones de terminos, se obtiene cerca de 19. A simple vista se observa que con cada incremento de una unidad de logaritmo la suma aumenta en aproximadamente 2,3. Si graficamos esta segunda tabla veremos :

Aqui se ve lo que Oresmes en el siglo XIV ya habia intuido y demostrado, que esta serie era divergente !!
Lo interesante de este grafico, es que con la escala logaritmica DA LA IMPRESION DE HABER UN CORRELACION  PERFECTA, parece haberla, probablemente cuando los numeros sean mas grandes esta curva tienda a ser una recta, eso no lo puedo saber, cuando he tratado de ejecutar el programita con numeros mayores mi ordenador se ha trabado !!! ; bueno no es que se haya trabado, cuando ejecuto el programa con los CIEN MILLONES DE PRIMEROS NUMEROS mi pobre ordenador demora 18 minutos, de modo que para calcular la suma de los MIL MILLONES DE TERMINOS le tomaria 5  Horas !!

estados balticos , cataluña, Apatridas

Los defensores del nacionalismo catalan, consideran  ejemplares a los paises balticos  en cuanto a cómo puede lograrse la independencia por medios pacificos y luego integrarse a la unión europea.

De hecho la cadena de la diada  que celebraron el 11/9 del año 2013 esta inspirada en un hecho similar ocurrido en los paises balticos para librarse del estado sovietico el año 1991.

El tema es interesante, y aunque proclamado por personas independentistas es poco conocido en los detalles no solo por los independentistas sino por el resto de las personas.

Tomemos el caso de  Letonia  que NUNCA  fue un país sino un territorio ocupado militarmente por diferentes potencias de la región, llamase, rusos, alemanes, daneses, polacos, suecos. De hecho existió como país recien  en 1918 gracias a la revolución bolchevique que hizo caer el imperio zarista; este acontecimiento permitió que Letonia se declare como estado independiente. 

La independencia les duro menos de 30 años, asi que poco después de inciar la segunda guerra mundial, fueron nuevamente un bocadillo para el ejercito soviético. Dos años mas tarde, el expansionismo nazi hizo que los  tanques y tropas alemanas circularan   por las calles de Riga. 

Los nazis ademas de eliminar a la resistencia local, se encargaron de perseguir y exterminar a la población judía. Con la caída del III Reich, los sovieticos volvieron a entrar a  Letonia, como si fueran Pedro por su casa, pero ademas proclamados por la poblacion local (recuerden la aclamacion a los franquistas aqui en cataluña). La dominación o invasión soviética persistió hasta que Gorbachov acepto el colapso ruso. En 1991 Letonia se declara de nuevo independiente.

Tras la independencia en 1991, la historia continua, el gobierno de Letonia decreta (esta publicado y esta vigente) “DENEGAR la ciudadanía a aquellos que no se consideraban étnicamente Letones” o "a aquellos que habían llegado a Letonia partir del año 1940", se les permite seguir viviendo en Letonia, pero "no pueden ser ciudadanos plenos", se les considera “ciudadano con ciudadanía indeterminada”, se les declara poseedores de todos los derechos de un ciudadano Leton EXCEPTO que "no pueden ejercer su derecho al voto, no tener derecho a pasaporte, no pueden ocupar cargos en la administración publica pero si en las ONGs". y finalmente para mas sufrimiento de este grupo, casi un tercio de la poblacion, se decreta que  "no tienen derecho a pensiones de jubilación." 

Occidente es decir la civilizada Europa y USA, no han protestado por este atropello, mas bien aceptan de buen agrado a la nueva nación europea, la explicación es sencilla, con la independencia de los países bálticos se encogían las fronteras rusas, de hecho, nada mas conseguir la independencia, Letonia fue aceptado como miembro de la OTAN.

El año 1999, una comisión especial de la ONU, denuncio la situación de estos “ciudadanos con ciudadanía indeterminada” , equiparo su situación con la de los apátridas en muchas regiones del mundo.

Lo singular, es que si estos “ciudadanos no ciudadanos” que llegan a ser 1/3 de la población, desean obtener la nacionalidad deben aprobar un examen escrito y oral de la lengua Letona, y al parecer el grado de dificultad impuesto es muy alto, segun una noticia de la BBC http://news.bbc.co.uk/2/hi/europe/8630304.stm

La historia es rica en ejemplos y detalles, pero nos importa lo minimo. Existieron aqui en Europa unos apatridas, que al ser vencidos en la guerra civil española y antes de ser aniquilados por Franco, escaparon a Francia, era el año 1939. Se calcula que eran medio millon de personas, de ellos un tercio eran catalanes. En Francia victimas de la indiferencia francesa vivian en campos de refugiados. Un año mas tarde, los colaboracionistas franceses y los alemanes se encargarian de ellos. Los pocos que escaparon, siguieron combatiendo y luchando por sus ideales, combatieron en todos los frentes europeos incluso en africa. Al final un grupo de ellos, conformando la "Novena" un batallon integrado en el ejercito liberador frances encabezo la toma de Paris.

Acabare, repitiendo a MV Llosa,  que muchas de las atrocidades que ha cometido el ser humano, se han producido en nombre de los nacionalismos.

Scott Mc Kenzie : San Francisco

La decada de los 60`s, la decada del movimiento hippie, fue en realidad la conjuncion de muchas tendencias que se sintetizaron en el movimiento cultural hippie inicialmente en USA y luego en el resto del mundo. detras del hippismo, habian ideas simples pero potentes : el arte frente a la tecnologia, pacifismo, comunitarismo social, vegetarianismo, respeto a la naturaleza, permisividad sexual y uso de drogas para ingresar a otros niveles de conciencia.
Es en este contexto en que aparecen, musicos y potentes grupos musicales, entre ellos el creador del himno, del hippismo: Scott Mc kenzie, fallecido ahora en agosto (2012) A el agradecemos, una cancion de nuestra juventud : San Francisco

If you are going to San francisco

Be sure to wear some flowers in your hair

If you're going to San Francisco

You're gonna meet some gentle people there

For those who come to San Francisco

Summertime will be a love-in there

In the streets of San Francisco

Gentle people with flowers in their hair

Musica clasica de la A a la Z

Es la coleccion de pequeños fragmentos de lo que a mi juicio son las mejores piezas musicales. No me cabe ninguna duda, que cada uno tiene sus gustos particulares. Espero les guste !