Serie Harmonica Divergente (harmonic series diverges !)

La serie de numeros en el siguiente orden :

1 , 1/2, 1/3, 1/4,.........1/n  es conocida como una Serie harmonica. Voy a demostrales que la suma de  esta serie es divergente.

Primero veamos cuando una serie es convergente

sea  S1 la suma de la siguiente serie   S1 = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +............Hasta el infinito !!!

la suma de los INFINITOS TERMINOS de esta serie, aunque parezca increible es S1 =2  (convergen en 2)

Por el contrario :

S2 = 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + .................hasta el infinito,

tiende a aumentar,  NO CONVERGE en una cifra o un limite (divergente)

Para demostrar esto, debemos escribir un programita en Octave (o mathlab o en C) para que sume los primeros "n" terminos de esta serie. (yo lo hice en Octave, es gratuito)

Con este programa, obtenemos la suma de los primeros terminos, en la tabla izquierda, algunos valores hasta cuando n=100, a primera vista parace que la suma va a converger. 

Pero cuando, obtenemos la suma de numeros mayores, en la tabladerecha, se ve que cuando sumamos los primeros cien millones de terminos, se obtiene cerca de 19. A simple vista se observa que con cada incremento de una unidad de logaritmo la suma aumenta en aproximadamente 2,3. Si graficamos esta segunda tabla veremos :

Aqui se ve lo que Oresmes en el siglo XIV ya habia intuido y demostrado, que esta serie era divergente !!
Lo interesante de este grafico, es que con la escala logaritmica DA LA IMPRESION DE HABER UN CORRELACION  PERFECTA, parece haberla, probablemente cuando los numeros sean mas grandes esta curva tienda a ser una recta, eso no lo puedo saber, cuando he tratado de ejecutar el programita con numeros mayores mi ordenador se ha trabado !!! ; bueno no es que se haya trabado, cuando ejecuto el programa con los CIEN MILLONES DE PRIMEROS NUMEROS mi pobre ordenador demora 18 minutos, de modo que para calcular la suma de los MIL MILLONES DE TERMINOS le tomaria 5  Horas !!