El penso que con aquellos se podria formar la secuencia de Fibonacci. Le conteste que tal vez si , pero seria mejor la secuencia de los numeros triangulares.
Un numero triangular (NT) es el numero total de elementos apilados, en orden creciente. Por ejemplo el NT(4) es igual a 10, veamos la figura :
en el triangulo hay 4 filas, la suma de todos los elementos da 10. NT(4)=10. El NT mas simple seria NT(1)=1 o tambien NT(0)=0
Imaginemos que hacemos un supertriangulo con muchos elementos, y este llega a tener "n" filas, la pregunta es ¿cuantos elementos tendria?
NT(n) = n(n+1)/2
Para obtener la solucion hay que sumar 1+2+3+4+5+......+n.
La demostracion es facil, y se puede demostrar graficamente :
Imaginen mover el cuadradito del vertice al extremo derecho de la ultima fila, ahora habrian n+1 cuadraditos, si hacemos lo mismo con los cuadraditos de la segunda linea y los alineamos en la penultima obtenemos otra vez n+1 cuadraditos; si repetimos la operacion, tendremos n/2 lineas (la mitad, porque las superiores han desaparecido !!) y cada una de ellas tiene n+1 cuadraditos, por lo que el numero total sera : n(n+1)/2.
esta es la formula de la suma de los primeros numeros naturales.
Otra manera de demostrar, es la siguiente : Dibujemos un rectangulo de n(n+1) lados como el que vemos:
El rectangulo de 7x8 esta formado por 2 numeros triangulares iguales NT(7), el area del rectangulo es 7x8=56 y el area de cada uno de los numeros triangulares sera 7x8/2.
En otras palabras 2xNT(n)=n(n+1) >>>>> NT(n) = n(n+1)/2.
Otra propiedad interesante de estos numeros puede obtenerse graficamente : tenemos un cuadrado (n)x(n) = n2 (n al cuadrado) y como se ve este es 8x8 = 64, que es en realidad la suma de 2 numeros triangulares NT(7) =28 y NT(8) = 36; como se ve en la figura :
NT(7) + NT(8)= 64; podriamos generalizar y obtener ; NT(n)+NT(n+1)=(n+1)(n+1)
una ultima propiedad: Imaginemos que el cuadrado de arriba en realidad son 64 cubitos, que pasaria si construimos una torre con 49 cubitos encima, y luego 36 y asi sucesivamente hasta 1 cubito. Pregunta ¿cuantos cubitos hay? , la respuesta es que hay 1x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 + 6x6 + 7x7 +8x8. La pregunta mas general es como podemos calcular :
utilizando los numeros triangulares?.
